C'est le 272 ème facteur premier de Fermat découvert (et le 2ème pour l'année 2009). Ce nombre de 170.758 chiffres est le 7ème plus grand facteur de Fermat recensé par la base de données des plus grands nombres premiers de Chris Caldwell. C'est également le facteur de Fermat le plus "lourd" (c'est à dire le plus difficile à trouver) connu à ce jour.
Ce nombre a été confirmé, quelques dizaines de minutes plus tard, à 7h42 sur l'ordinateur du britannique Iain Boutcher (un Intel C2Q Q9550 cadencé à  2.83GHz avec 4 Go de mémoire vive). Le test a duré 7 minutes et 28 secondes.

Les crédits de la découverte :
1. Senji Yamashita (Japon), le découvreur
2. PrimeGrid, et al.
3. Srsieve, le programme de criblage développé par Geoff Reynolds
4. LLR, le test de primalité développé par Jean Penné

La dernière découverte du projet Proth Prime Search remonte au 27 décembre 2008, l'américain Eric Ueda (TeAm AnandTech) avait découvert le 270ème facteur premier de Fermat sur son ordinateur un C2Q Q6600 cadencé à 2.40 GHz avec 1 Go de RAM. Le test a été accompli en 4 minutes et 43 secondes.

651 x 2 ⁴⁷⁶⁶³² + 1 facteur de F(476624)

Les nombres de Fermat

Les nombres de Fermat sont des nombres de la forme F_n = 2 ^{2 n} + 1  avec n un entier positif. Ils doivent leur nom à Pierre de Fermat (1601-1665), un avocat français qui a le premier étudié ces nombres. Fermat est souvent décrit comme un mathématicien amateur et il est à ce titre surnommé le "prince des amateurs". Cependant, sa contribution aux mathématiques surpasse très largement ce simple cliché. Il fût un mathématicien brillant, qui ouvrit la voie aux mathématiques modernes et il est fréquemment désigné comme le pionnier de la théorie moderne des nombres. On retient surtout de Fermat sa conjecture connue aujourd'hui sous le nom de dernier théorème de Fermat. Cette conjecture énonce qu'il n'existe aucun nombre entier non nul x, y et z tel que : xⁿ + yⁿ = z ⁿ  dès lors que n est un entier strictement supérieur à 2. Cette assertion a finalement été démontrée en 1993 par le mathématicien britannique Andrew J. Wiles.

Fermat découvrit que les 5 premiers nombres de la forme F_n = 2 ^{2 n} + 1 sont des nombres premiers.
F(0)=3, F(1)=5, F(2)=17, F(3)=257, et F(4)=65537
Bien qu'il n'avait aucune preuve, Fermat émit l'hypothèse que tous les nombres de cette forme étaient des nombres premiers. Cependant, en 1732, Leonhard Euler montra que F(5) avait un diviseur, 641, ce nombre de Fermat n'était donc pas premier : F(5)= 2 ^{2 5} + 1 = 2³² + 1 = 4.294.967.297 = 641 × 6.700.417
Dès lors, la recherche de ces nombres atypiques (les facteurs premiers des nombres de Fermat) débuta. Depuis, seulement 272 facteurs premiers de nombres de Fermat ont été découvert. Encore aujourd'hui, seuls les 5 nombres de Fermat découvert par Pierre Fermat sont des nombres premiers.

Euler démontre que tous les facteurs d'un nombre de Fermat F(n) peuvent s'écrire sous la forme k x 2 ⁿ⁺¹ + 1 avec n strictement supérieur à 2. Pour n=5, cela signifie que le facteur sera de la forme  k x 2⁽⁵⁺¹⁾ +1 = k x 2 ⁶ +1 = k x 64 +1. Euler découvrit le facteur 641 = 10 x 64 +1. La forme simple de ce facteur est  k x 2 ⁿ + 1. Ainsi, tout nombre premier de la forme  k x 2 ⁿ + 1 a une chance d'être un facteur premier de Fermat.

Actuellement, c'est le projet Proth Prime Search (littéralement, la recherche de nombres premiers de Proth) qui recherche ce type de facteurs. Après chaque découverte d'un nombre premier, un calcul externe (à BOINC) est effectué à l'aide du programme libre OpenPFGW afin de tester une possible factorisation d'un nombre de Fermat

"Il ressort  que la probabilité qu'un nombre de la forme k x 2 ⁿ + 1 soit un facteur premier d'un nombre de Fermat est de 1/k" (Harvey Dubner & Wilfrid Keller, "Factors of generalized Fermat numbers", Mathematics of Computation, Vol. 64, Number 209, January 1995, pp. 397-405)

On appelle les nombres de la forme a^(2m) + b^(2m) (avec a >1) des nombres de Fermat généralisés. Les facteurs de ces nombres sont beaucoup plus communs. La factorisation de ces nombres de Fermat généralisés est testé en même temps que la factorisation des nombres de Fermat.
Wilfrid Keller tiens à jour un décompte détaillé de tous les facteurs des nombres de Fermat et des nombres de Fermat généralisés. vous trouverez ces listes en cliquant sur les liens suivant :
Facteurs premiers (k x 2 ⁿ + 1) de nombres de Fermat et statut de la recherche
Les facteurs de nombres de Fermat généralisés découvert depuis Björn & Riesel

Voici quelques liens pour de plus amples renseignements sur Pierre de Fermat, les nombres de Fermat, les facteurs de Fermat, etc...:

- Pierre de Fermat (Wikipédia)
- Pierre de Fermat - en anglais (The MacTutor History of Mathematics archive)

- Les nombres de Fermat - en anglais (The Prime Glossary at the Prime Pages)
- Les nombres de Fermat - en anglais (Wolfram Mathworld)
- Les nombres de Fermat - en anglais (Wikipédia)

- Les nombres premiers de Fermat - en anglais (Wolfram Mathworld)

- Les nombres de Fermat généralisés - en anglais (Wolfram Mathworld)
- Les nombres de Fermat généralisés - en anglais (Wikipédia anglophone)

- Les diviseurs de Fermat - en anglais (The Prime Glossary at the Prime Pages)

- Les plus grands diviseurs de Fermat connus sur Prime Pages