Six projets sont apparus sur PrimeGrid ces 9 derniers mois (4 tests de primalité et 2 cribles). Comme il a été mentionné dans ce sujet, "la sélection fût axée sur la simplicité ... l'évaluation de la facilité du portage de chaque nouveau sous-projet sur PrimeGrid et sur Boinc"3 nouveaux projets vont bientôt être adaptés à BOINC via PrimeGrid ... tous les trois mettent en oeuvre un test de primalité. La facilité du portage est toujours l'idée conductrice pour adapter de nouveaux projets. Cependant, il est envisagé de lancer d'autres tests de primalité et des recherches de nombres premiers de plus en plus variés.
La recherche de nombres premiers de Sophie Germain (Sophie Germain Prime Search)
Un nombre premier p est appelé un nombre premier de Sophie Germain si 2p + 1 est aussi un nombre premier. Par exemple, 5 est un nombre premier de Sophie Germain car l'opération algébrique 2 × 5 + 1 donne comme résultat 11 qui est également un nombre premier. Ces nombres premiers ont été baptisés en hommage à Marie-Sophie Germain (Paris, 1er avril 1776 – 27 juin 1831), une éminente mathématicienne française (également l'une des premières femmes mathématiciennes)
Le projet va rechercher les résultats de l'opération algébrique suivante : k x 2n - 1. Si le résultat donne un nombre premier, les opérations algébriques suivantes seront successivement effectuées k x 2n +1, k x 2(n-1) - 1, & k x 2n+1 -1. Il est possible d'effectuer ce test pour la raison qu'un quadruple criblage a été effectué pour cette recherche. Ce criblage garantie que k x 2n - 1, k x 2n +1, k x 2(n-1) - 1, & k x 2n+1 -1 n'admettent aucun petit diviseur.
Comme vous pouvez le constater, cette technique de recherche permet également de découvrir des nombres premiers jumeaux même si le but premier est de trouver des nombres premiers Sophie Germain. Voici les caractéristiques du projet :
Le projet va rechercher les résultats de l'opération algébrique suivante : k x 2n - 1. Si le résultat donne un nombre premier, les opérations algébriques suivantes seront successivement effectuées k x 2n +1, k x 2(n-1) - 1, & k x 2n+1 -1. Il est possible d'effectuer ce test pour la raison qu'un quadruple criblage a été effectué pour cette recherche. Ce criblage garantie que k x 2n - 1, k x 2n +1, k x 2(n-1) - 1, & k x 2n+1 -1 n'admettent aucun petit diviseur.
Comme vous pouvez le constater, cette technique de recherche permet également de découvrir des nombres premiers jumeaux même si le but premier est de trouver des nombres premiers Sophie Germain. Voici les caractéristiques du projet :
k sera compris entre 1 et 41 billions (41 x 1012)
n=666 666
Etendue du criblage : p = 200 billions
Candidats restant : 34.190.344
Probabilité de découvrir une ou plus d'une paire significative : 80,1%
Probabilité de découvrir un ou plus d'un nombre Sophie Germain : 66,7%
Probabilité de découvrir un ou plus d'un nombre premier jumeau : 42,3 %
Durée approximative d'une unité de travail :
Athlon64 2,1Ghz - ~2000 secondes (~33,3 minutes)
C2D 2,1 Ghz - ~1015 secondes (~16,9 minutes) par cœur
C2Q 2,4 GHz - ~880 secondes (~14,7 minutes) par cœur
Les nombres premiers qui seront découvert grâce à cette recherche entreront dans le top 5000 des nombres premiers, plus précisément aux alentours de la 600ème place.
Pour recueillir davantage d'informations sur les nombres premiers de Sophie Germain, je vous invite à consulter les liens suivant :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_de_Sophie_Germain
http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPMULTI/PremSoGe.htm
http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=SophieGermainPrime (anglais)
http://mathworld.wolfram.com/SophieGermainPrime.html (anglais)
Pour en savoir plus sur Marie-Sophie Germain :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain
http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=germain
http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/germain.html (anglais)
- 3 x 2n+1
C'est le petit frère du projet 3 x 2n-1 déjà existant. Le but serait de mener 2 projets de front pour un même n. k=3 a été réservé par le projet sur le site ProthSearch. Le but initial serait le même que sur 3 x 2n - 1, c'est à dire de pousser le test jusqu'à n = 5 millions. Un criblage est également conduit en parallèle.
Voici quelques caractéristiques de ce projet :
k=3
Criblage : n compris entre 1 et 5 millions
Etendue du criblage : p = 500 billions
3 x 2n+1 effectuera un travail de double vérification jusqu'à un n égal à environ 1,8 million puis sporadiquement pour les n jusqu'à environ 2,6 millions. Au delà, le projet trouvera de nouveaux nombres premiers, même si il y aura une probabilité non nulle d'en louper.
Voici quelques caractéristiques de ce projet :
k=3
Criblage : n compris entre 1 et 5 millions
Etendue du criblage : p = 500 billions
3 x 2n+1 effectuera un travail de double vérification jusqu'à un n égal à environ 1,8 million puis sporadiquement pour les n jusqu'à environ 2,6 millions. Au delà, le projet trouvera de nouveaux nombres premiers, même si il y aura une probabilité non nulle d'en louper.
- Recherche de nombres premiers +1 (+1 Prime Search)
Cette recherche s'intéressera aux nombres premiers de la forme k x 2n+1. Avec comme condition que 2n > k , ils sont souvent appelés nombres de Proth. Le projet sous Primegrid coordonnera ses efforts avec le site ProthSearch. Le petit plus de ce projet : il sera possible de découvrir des facteurs des nombres de Fermat généralisés (NFG). Chaque nombre premier pouvant se décomposer sous la forme k x 2n+1 peut être un facteur NFG. Comme l'exige PrimeFormGW (PFGW) (un test de primalité), une fois que PrimeGrid aura découvert un nombre premier de ce type, un test manuel sera effectué indépendamment de BOINC pour tester la divisibilité des NFG.
L'objectif initial sera d'effectuer une double vérification de tout le travail précédemment effectué jusqu'à n = 300 000 pour k < 1 200 afin de combler les trous laissés vacants. Les nombres premiers découvert ne devraient pas entrer dans le top 5000 des nombres premiers (actuellement n > 333 333). Cependant, le travail est très important puisqu'il pourra permettre de découvrir des facteurs NFG. Actuellement, seuls 250 facteurs de ce type sont connus.
Voici quelques stats :
4 < k < 1200
1 < n < 5 000 0000
Etendue du criblage : actuellement p = 10 billions (en cours)
Une fois que l'objectif initial aura été atteint, nous avancerons jusqu'à n < 400 000 puis n < 500 000. Ensuite, le projet s'intéressera à des valeurs de k plus petites et des n plus grands. Par exemple, l'analyse complète des k < 32 pour un n = 2 000 000, où l'analyse complète des k < 64 pour un n = 1 000 000 et ainsi de suite. Les nombres premiers qui seront trouvés dans cette fourchette entreront sans aucun doute dans le Top 5000 des nombres premiers.
L'objectif initial sera d'effectuer une double vérification de tout le travail précédemment effectué jusqu'à n = 300 000 pour k < 1 200 afin de combler les trous laissés vacants. Les nombres premiers découvert ne devraient pas entrer dans le top 5000 des nombres premiers (actuellement n > 333 333). Cependant, le travail est très important puisqu'il pourra permettre de découvrir des facteurs NFG. Actuellement, seuls 250 facteurs de ce type sont connus.
Voici quelques stats :
4 < k < 1200
1 < n < 5 000 0000
Etendue du criblage : actuellement p = 10 billions (en cours)
Une fois que l'objectif initial aura été atteint, nous avancerons jusqu'à n < 400 000 puis n < 500 000. Ensuite, le projet s'intéressera à des valeurs de k plus petites et des n plus grands. Par exemple, l'analyse complète des k < 32 pour un n = 2 000 000, où l'analyse complète des k < 64 pour un n = 1 000 000 et ainsi de suite. Les nombres premiers qui seront trouvés dans cette fourchette entreront sans aucun doute dans le Top 5000 des nombres premiers.
Pour plus d'information sur les nombres de Proth, vous pouvez visiter ces sites :
http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=ProthPrime (anglais)
http://mathworld.wolfram.com/ProthPrime.html (anglais)
http://en.wikipedia.org/wiki/Proth_number (anglais)
- Quelques suggestions pour de futurs projets
Recherche Généralisée de nombres premiers de Cullen/Woodall (Generalized Cullen/Woodall Search) : une recherche similaire à l'actuelle recherche Cullen/Woodall (Cullen/Woodall search) exceptée qu'une base différente de 2 sera sélectionnée. Ces nombres premiers seront de la forme suivante :
Cullen Généralisé: n x bn + 1
Woodall Généralisé : n x bn - 1
Une de ces bases, b = 13, mérite de s'y attarder, car aucun nombre premier n'a encore été découvert jusqu'à aujourd'hui pour cette base, alors que le test a déjà été effectué jusqu'à n = 250 000.
Voici quelques travaux dans ce domaine :
La recherche généralisée de nombres de Woodall de Steven HarveyCullen Généralisé: n x bn + 1
Woodall Généralisé : n x bn - 1
Une de ces bases, b = 13, mérite de s'y attarder, car aucun nombre premier n'a encore été découvert jusqu'à aujourd'hui pour cette base, alors que le test a déjà été effectué jusqu'à n = 250 000.
Voici quelques travaux dans ce domaine :
La recherche généralisée de nombres de Woodall de Günter Löh avec n compris entre 3 et 100
La recherche généralisée de nombres de Woodall de Daniel Hermle's avec b compris entre 101 et 200
Hyper Cullen/Woodall : encore un projet similaire à l'actuelle recherche Cullen/Woodall. Ces nombres premiers sont de la forme suivante :
HyperCullen: kn x nk + 1 , k > n
HyperWoodall: kn x nk - 1 , k > n
Des travaux s'intéressant à cette recherche sont en cours, voir la recherche généralisée de nombres de Woodall de Steven Harvey
Recherche généralisée de nombres premiers de Fermat (Generalized Fermat Prime Search) : Recherche de nombres premiers de la forme b2n + 1. Un autre projet a déjà réalisé un travail conséquent dans ce domaine. Ce travail est accessible ici : Recherche de nombres premiers de Fermat. PrimeGrid devrait être capable de vérifier tout ce travail et donc d'aider ce projet à prolonger sa recherche.
Nombre premier de Wieferich (Wieferich prime) : Il existe un travail dans ce domaine, il est consultable à cette adresse : http://www.elmath.org/
Recherche Octoproth (Octoproth Search) : il existait une recherche, mais il y a maintenant hiatus suite à un manque d'intérêt : http://mersenneforum.org/forumdisplay.php?f=63
Conjectures de Riesel et de Sierpinski (Riesel and Sierpinski conjectures) : il existe deux projets très connus (Riesel Sieve et Seventeen or Bust) et depuis peu de temps une recherche pour des bases différentes de 2 : http://mersenneforum.org/showthread.php?t=9738