Comme nous vous l'annoncions dimanche dernier, le projet GIMPS a
découvert les deux plus grands nombres premiers connus :45 ème nombre de Mersenne : 237.156.667-1 (11.185.272 chiffres)
Cette découverte a été réalisée sur l'un des ordinateurs de la faculté de Mathématiques de l'Université de Californie à Los Angeles. Comble de l'histoire, c'est cette même Faculté qui, en 1952, avait révolutionné la recherche des nombres de Mersenne premier en utilisant pour la première fois un calculateur électronique. L'ordinateur SWAC utilisé (voir photo ci-dessus) avait alors permis de découvrir 5 nombres premiers de Mersenne en à peine un an.
A l'époque, cette découverte fût d'autant plus extraordinaire qu'aucun nombre premier de Mersenne n'avait pu être trouvé au cours des 38 années précédentes. Après la découverte des 11ème et 12ème nombres de Mersenne premier, respectivement en 1914 et 1876 (33 et 39 chiffres), l'Homme était arrivé à ses limites en terme de calcul à la main. Il aurait été extrêmement difficile de découvrir les 13 ème et 14 ème nombres premiers de Mersenne long de 157 et 183 chiffres. L'ordinateur SWAC réussit cette prouesse en à peine quelques heures.
Découverte du 45 ème nombre premier de Mersenne connu
Le 23 août, un ordinateur de l'Université de Californie à Los Angeles a découvert le 45ème nombre premier de Mersenne connu (46 ème nombre de Mersenne par ordre de grandeur). Pour bien comprendre le caractère hors norme de ce nombre, si vous vouliez l'écrire, il vous faudrait remplir 3461 pages d'un livre grand format à raison de 75 chiffres par ligne et 50 lignes par page. Pour afficher ce nombre en entier sur votre ordinateur, il vous faudra ouvrir un fichier au format texte de 16,73 Mo pour une écriture décimale du nombre et un fichier de 311,50 Mo pour voire une écriture littérale de ce nombre en anglais (lien)
Félicitation à Edson Smith, le responsable de l'installation et de la maintenance du logiciel GIMPS sur les ordinateurs de la faculté de Mathématiques de l'Université de Californie à Los Angeles. Edson Smith a travaillé dans l'industrie de l'informatique pendant 27 ans, il est depuis maintenant 10 ans le gestionnaire du parc informatique de la faculté d'informatique de l'Université de Californie à Los Angeles. À l'occasion de la rentrée 2007, il décida de remplacer tous les écrans de veille des ordinateurs du laboratoire par quelque chose de plus utile. Son choix se porta sur l'application prime95. Cette décision s'avère aujourd'hui très judicieuse !
Découverte du 46 ème nombre premier de Mersenne connu
Le 6 septembre, Hans-Michael Elvenich de Langenfeld (une ville de 60.000 habitants près de Cologne) a découvert le 45 ème nombre de Mersenne premier : 237.156.667-1 (11.185.272 chiffres). C'est la première fois depuis 1988 et la découverte du 29 ème nombre de Mersenne premier (2110,503-1) par Colquitt et Welsh, qu'un nombre premier de Mersenne n'est pas découvert par ordre croissant de grandeur.
Hans-Michael Elvenich est un ingénieur électricien de 44 ans travaillant pour Lanxess (société allemande du secteur chimique). Hans-Michael est un passionné des nombres premiers, il est notamment webmestre du site primzahlen.de. En allemand, nombre premier se traduit par "Primzahlen"
Distribution du prix de 100.000 $ offert par l'Electronic Frontier Foundation
Comme cela était prévu, GIMPS va distribuer le prix de 100.000 $ de la façon suivante : 50.000 $ iront à la faculté d'informatique de l'Université de Californie à Los Angeles pour avoir découvert le premier nombre de Mersenne premier de plus de 10 millions de chiffres. 25.000 $ iront au projet GIMPS pour couvrir les frais et préparer les recherches futures (dans l'optique de la découverte d'un nombre premier de plus de 100 millions de chiffres, dont la récompense est fixée à 150.000 $) et le reste sera redistribué à parts égales entre les découvreurs des 6 derniers nombres de Mersenne premier (Michael Cameron, Michael Shafer, Josh Findley, Dr. Martin Nowak, Curtis Cooper et Steven Boone).
La faculté de Mathématiques de l'Université de Californie à Los Angeles, une histoire inséparable de la recherche des nombres premiers de Mersenne
La recherche pour les nombres premiers de Mersenne fut révolutionnée par l'introduction des calculateurs électroniques. La première identification d'un nombre de Mersenne par ce moyen eut lieu à 22 heures le 30 janvier 1952 par un ordinateur SWAC à l'Institut d'Analyse Numérique (Institute for Numerical Analysis) du campus de l'Université de Californie - Los Angeles, sous la direction de Derrick Lehmer, avec un programme écrit par R.M. Robinson.
C'était le premier nombre premier de Mersenne identifié depuis 38 ans. Le suivant fut trouvé moins de deux heures plus tard par le même ordinateur, qui en trouva trois de plus dans les mois suivants. Le 3 novembre 1961, le professeur Alexander Hurwitz récidiva en découvrant 2 nombres premiers sur un ordinateur IBM de Université de Californie à Los Angeles.
C'est donc le 8 ème nombre premier de Mersenne découvert entre les murs de la Faculté de Mathématiques de l'Université de Californie à Los Angeles (près d'un nombre premier de Mersenne sur 6 a été découvert dans cette Faculté)
Le tableau ci-dessous résume les découvertes réalisées par l'Université :
| Nombre de Mersenne | n | Nombre | Chiffres | Date de la découverte | Découvreur |
| 13 ème | 521 | 2521-1 | 157 | 30 janvier 1952 | Robinson (Swac) |
| 14 ème | 607 | 2607-1 | 183 | 30 janvier 1952 | Robinson (Swac) |
| 15 ème | 1.279 | 21279-1 | 386 | 25 juin 1952 | Robinson (Swac) |
| 16 ème | 2.203 | 22203-1 | 664 | 7 octobre 1952 | Robinson (Swac) |
| 17 ème | 2.281 | 22281-1 | 687 | 9 octobre 1952 | Robinson (Swac) |
| 19 ème | 4.253 | 24253-1 | 1.281 | 3 Novembre 1961 | Hurwitz (IBM) |
| 20 ème | 4.423 | 24423-1 | 1.332 | 3 Novembre 1961 | Hurwitz (IBM) |
| 46 ème | 43.112.609 | 243.112.609-1 | 12.978.189 | 23 Août 2008 | GIMPS / Edson Smith |
L'ordinateur Swac
(Standards Western Automatic Computer) est l'un des
premiers ordinateurs numériques, il fût construit
en
1950 par le Bureau National des Standard basé à
Los Angeles (Californie). Il a été
conçu par Harry Huskey (qui est aussi le père du
G15, parfois considéré comme le premier
ordinateur personnel). Ce mastodonte d'environ 1,5 tonnes utilisait
2.300
tubes
à vide. Il pouvait stocker
256 mots de 37 bits en mémoire grâce aux tubes
Williams. L'ordinateur était capable d'effectuer
plusieurs opérations basiques (addition, soustraction,
multiplication, comparaison, extraction de données ). Il
pouvait additionner deux nombres et stocker le résultat en
64
microsecondes, une multiplication similaire était
effectuée en 384 microsecondes
La construction du SWAC fût achevée en Juillet 1950 et l'ordinateur resta pendant un an l'ordinateur le plus puissant du monde, jusqu'à la mise en service de l'ordinateur IAS à Pinceton en 1951. Le SWAC était loué à un prix de 40 $ par heure.
La construction du SWAC fût achevée en Juillet 1950 et l'ordinateur resta pendant un an l'ordinateur le plus puissant du monde, jusqu'à la mise en service de l'ordinateur IAS à Pinceton en 1951. Le SWAC était loué à un prix de 40 $ par heure.
La fréquence des nombres de Mersenne premier
 |
La réponse est probablement non. Nous connaissons déjà pas mal de choses sur les nombres premiers de Mersenne, mais ces connaissances ne suffisent pas pour prouver qu'il existe une infinité de nombres de Mersennes. Cependant, il existe une loi empirique qui permet d'affirmer que la distribution des écarts entre ces nombres premiers dans un repère log-log suit une règle bien précise.
Explication du graphique
par bcoz : On a donc la probabilité que
l'écart entre deux nombres de Mersenne
successifs soit plus ou moins grand, comparé au "double log
en base
deux" de ce nombre. On voit que la probabilité est de 80%
pour 1, et
tend vers 100% au dela de 1,5 ou 2. C'est peut-être pas
très clair dit
comme ça, mais ça prouve que la conjecture de
Erhardt est probablement
juste, elle prédit que les nombres de Mersenne sont infinis
et que leur
fréquence suit une progression doublement
géométrique. Dans ce cas, la
représentation des nombres de Mersenne successifs sur une
courbe nombre de
nombre de Mersenne/log(log(n)) serait une droite et l'écart
entre deux nombres
de Mersenne successifs une constante.
C'est un résultat intérressant et c'est d'actualité puisque l'on peut s'étonner que deux nombre de Mersenne proches viennent d'être découverts en quelques semaines après plus de deux ans sans découverte. Les points rouges sur la courbe correspondent aux nombres de Mersenne déjà connus et montrent que leur répartition correspond bien à une distribution statistique autour d'une progression doublement géométrique.
C'est un résultat intérressant et c'est d'actualité puisque l'on peut s'étonner que deux nombre de Mersenne proches viennent d'être découverts en quelques semaines après plus de deux ans sans découverte. Les points rouges sur la courbe correspondent aux nombres de Mersenne déjà connus et montrent que leur répartition correspond bien à une distribution statistique autour d'une progression doublement géométrique.
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